اعمال هفت گانه

اعمال اربعه در حساب یا ریاضی عبارت است از عملیه جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، در صورتیکه توان (طاقت) جذر و لوگاریتم را با آنها علاوه کنیم میتوان از اعمال هفت گانه در ریاضی نام برد. در حالت ضرب نمودن یک عدد به 1000 و 100 و 10 و غیره به آ ساني تعداد صفر هاي نضروب را در مقا بل مضروب فيه علا وه مينما يم. بر خلاف هر گاه يك عددراتقسيم 10، 100، 1000 و غیره نمائیم تعداد صفرهای این اعداد (مقسوم علیه) از عدد مقسوم اعشاری را از راست به چپ جدا مینمائیم:

  

           1-1     کسرعام

عبارت از نسبت بین دو عددیست که آنها را به نام صورت و مخرج یاد میکنند. به عباره ساده کسر نشان میدهد که یک عدد به چند حصه تقسیم گردیده و چند حصه آن گرفته شده است.

برای دریافت کردن حاصل جمع و تفریق کسر عام کوچکترین مخرج مشترک مخرج ها را بدست می آوریم، درینجا مقصد از کوچکترین مخرج مشترک بدست آوردن ذواضعاف اقل مخرج ها می باشد. یعنی کوچکترین عددی را بدست می آوریم که به تمام مخرج ها پوره قابل تقسیم باشد.

   

 1-1-1   ضرب کسر عام:

در ضرب کسر عام بعد از اختصار در صورتیکه قابل اختصار باشند صورت ها با هم و مخرج ها را با هم ضرب میکنیم.

2-1-1     تقسیم کسرعام:

در تقسیم کسر عام کسر مقسوم را نوشته ضرب در عکس کسر مقسوم علیه مینمائیم. در صورتیکه کسرها دارای اعداد صحیح هم باشند اولتر از همه لازم است که آنها را بدون عدد صحیح نمائیم.

یاد داشت: بخاطر باید داشت که:

1)    در یک کسر اگر صورت بزرکتر از مخرج باشدف کسر مربوط بزرگتر از (1) است.

2)    در یک کسر هرگاه مخرج بزرگتر از صورت باشد، کسر مربوط کوچکتر از (1) است.

3)    در یک کسر اگر صورت مساوی به صفر باشد، کسر مربوط مساوی به صفر است.

4)    در صورتیکه مخرج یک کسر صفر باشد، کسر مذکور مساوی به است.

2-1    کسر اعشاری:

هرگاه یک واحد نام به 10و100و1000 و غیره طاقت های 10 تقسیم گردد و از آن چند حصه گرفته بوشد، این نوع کسور را بنام کسرهای اعشاری یاد میکند. مثلاً 0.25 این معنی را میدهد که واحدهای مربوط به 100 تقسیم گردیده و از آن 25 حصه گرفته شده است.

 

1-2-1    جمع اعداد اعشاری:

در جمع اعداد اعشاری اعداد را طوری در تحت همدیگر می نویسیم که علامه های اعشاری در یک ستون قرار گیرد و بعداً مانند جمع ساده عملیه را تا اخیر انجام میدهیم. فرق بین جمع ساده و اعشاری این است که همین که به ستون اعشاری رسیدیم علامه اعشاری را در تحت ستون نقل میدهیم.

مثال:

2-2-1      تفریق اعداد اعشاری:

در عملیه تفریق اعداد اعشاری نیز عین عملی را که در عملیه جمع انجام دادیم اجرای مینمائیم، ولی در اینجا باید مقدم تر عدد بزرگ و بعداً عدد کوچک تعریف گردد.

 

مثال:

3-2-1   ضرب اعداد اعشاری:

در ضرب نمودن اعداد اعشاری علامت اعشاری را بعد از انجام عملیه ضرب، به تعداد خانه های اعشاری مضروب و مضروب فیه در قسمت حاصل جدا میکنیم.

 

مثال:

4-2-1   تقسیم اعداد اعشاری:

در عملیه تقسیم اعداد اعشاری مقسوم و مقسوم علیه را برای آسانی کار به عین عددی ضرب مینمائیم، تا مفسوم علیه عدد تام گردد.

مثلاً:

سوالات تمرینی:

3-1  طاقت یا توان:

طاقت یک عدد نما یانگر آن است که عدد مربوط به همان مرتبه به نفس خود ضرب گردد. مثلاً دلالت به آن میکند که عدد مرتبه به نفس خودش ضرب گردد.

 

مثال:

 

قوانین طاقت:

1.قاعده اول: در صورتیکه قاعده ها مشترک باشد در عملیه ضرب توان ها با همدیگر جمع گردیده و از قاعده ها یکی گرفته میشود.

مثلاً:

2.قاعده دوم: در صورتیکه قاعده ها مشترک باشد در عملیه تقسیم طاقت ها از همدیگر تفریق میگردد.

در صورتیکه باشد میشود.

مثال:

3.قاعده سوم: هرگاه یک عدد دارای توان ،توان باشد درینصورت توان ها با همدیگر ضرب میشوند.

مثال:

 

4-1   جذر:

جذر مربع: جذر مربع یک عدد عبارت است از عددیست که اگر دو مرتبه به نفس خودش ضرب شود. عدد تحت جذر بدست بیآید.

جذر مکعب: جذر مکعب یک عدد عبارت از عددیست که هرگاه سه بار به نفس خودش ضرب شود عدد تحت جذر را بدهد. به همین ترتیب عدد تحت جذر عددیست که n بار به نفس خودش ضرب گردیده و عدد تحت جذر بدست میآید.

برای گرفتن جذر مربع یک عدد تام، عدد مربوط را دو، دو خانه از طرف راست به چپ جدا ساخته با یک یا دو رقم اخیر عملیه اجرا میگردد. همچنان علامه جذر را بنام رادیکال (Radical) نیز یاد میکنند. براي گرفتن جذردر اعداداعشاري قسمت تام آن عينا مانند اعداد تام و از قسمت اعشاري به بعددودو خانه ازچپ به راست جدا ميكنيم.

 

 

 

 

تمرینات:

 

 

 

5-1                             لوگاریتم

 

موارد استفاده از لوگاریتم در مسایل اقتصادی روز افزون میباشد، بخصوص در حالاتیکه افاده های نسبتاً مغلق ریاضیاتی را نتوان نظر به قاعده های دیگر ریاضیاتی حل کرد. بطور عموم دو نوع لوگاریتم وجود دارد. یکی لوگاریتم طبعی و دیگری لوگاریتم اعشاری. تفاوت عمده بین این دو نوع لوگاریتم در قاعده آنهاست. اگر قاعده یک لوگاریتم e باشد و e=2.71828 آنرا لوگاریتم طبعی مینامند، و اگر قاعده عدد 10 باشد آنرا لوگاریتم اعشاری مینمامند.

درینجا ابتدا لوگاریتم طبيعی را مورد مطالعه قرار میدهیم.

اگر داشته باشیم که نظر به خواص لوگاریتم میتوان آنرا چنین نوشت که:

مثال:

در بعضی موارد برای ساده ساختن لوگاریتم از قاعده های ذیل استفاده مینمائیم.

قاعده اول: لوگاریتم عدد 1 به هر قاعده که باشد مساوی به صفر است.

قاعده دوم: لوگاریتم هر عدد به قاعده خودش مساوی به 1 است.

قاعده سوم: لوگاریتم یک حاصل ضرب مساویست به مجموعه لوگاریتم اجزای ضربی آن

قاعده چهارم: لوگاریتم یک حاصل تقسیم مساویست به لوگاریتم صورت منفی لوگاریت مخرج

قاعده پنجم: لوگاریتم جذر عبارت از لوگاریتم عدد مذکور تقسیم بر q.

قاعده ششم: لوگاریتم مساویست به

 

 

تمرینات:

 

 

 

 

1-5-1 لوگاریتم اعشاری

طوریکه قبلاً گفته شد قاعده لوگاریتم اعشاری عدد ثابت 10 میباشد، بنابر آن برای دریافت نمودن لو گاریتم یک عدد باید کوشش شود تا قاعده عدد مربوط را به 10 تبدیل شود و طاقتی برای آن انتخاب شود که کاملاً  مساوی و یا خیلی نزدیک به عدد داده شده باشد. بطور مثال: میخواهیم را دریافت نمائیم.

برای دریافت نمودن لوگاریتم کامل یک عدد باید عملیه های ذیل صورت گیرد.

1) مشخصه یا کرکترستیک:

مشخصه یا کرکترستیک لوگاریتم یک عدد عبارت است از طاقت بدون در نظر داشت خانه های اعشاری آن میباشد اعدادیکه به شکل طاقت های 10 نوشته میشود لوگاریتم شان تنها دارای قسمت تام بوده که قسمت تام شانرا بنام کرکترستیک میشناسند. مثلاً:

لوگاریتم اعداد غیز از طاقت های 10 دارای دو قسمت تام و اعشاری میباشد قسمت تان آنرا بنام کرکترستیک و قسمت اعشاری آنرا بنام مانتیسه یاد میگردد کرکترستیک اعداد را مستقیماً روی خود عدد دریافت کرده میتوانیم ولی قسمت مانتیسه آنرا باید از جدول لوگاریتم دریافت کنیم.

اکنون کرکترستیک اعدادیکه به شکل طاقت های 10 هستند و در نظر میگیریم، فرض میکنیم که x عددی باشد بین 1 و 10

نتیجه: کرکترستیک یک عدد n رقمی عبارت K=n-1

مثال: کرکترستیک عدد 2745 را دریافت کنید.

 

کرکترستیک اعداد مثبت و کوچکتر از 1. مثلاً:

نتیجه: از مطالعه مثال های فوق نتیجه میگیریم که کرکترستیک اعداد مثبت کوچکتر از یک منفی میباشد و عبارت از

N در ینجا مقدار صفرهای است که بین علامه اعشاری و اولین عددی که به طرف چپ قرار دارد بیان میشود.

مثال: کرکترستیک عدد 0.000357 عبارت است از:

دریافت مانتیسه:

مانتیسه عبارت از خانه های اعشاری لوگاریتم یک عدد می باشد برای تعین خانه های اعشاریت به جدول لوگاریتم مراجعه می نمائیم.

مثال:

مثال:

2-5-1 طریقه انترپولیشن

طوریکه تا حال مطالعه نمودیم تنها لوگاریتم یک عدد 4 رقمی را از روی جدول لوگاریتم یافته میتوانیم هرگاه یک عدد 5 رقمی داشته باشیم نمی توانیم لوگاریتم این عدد را در جدول دریافت کنیم.پس چه باید کرد.

لوگاریتم این عدد را توسط طریقه انترپولیشن دریافت کرده میتوانیم. طریقه فوق را توسط مثال ذیل توضیح میدهیم:

                              تفاوت مانتیس ها  تفاوت اعداد   مانتیس     اعداد

سوالات تمرینی:

3-5-1 انتی لوگاریتم

برای دریافت نمودن انتی لوکاریتم یا ضد یک عدد عکس عملیه های را که برای گرفتن لوگاریتم عدد مربوط انجام داده ایم بکار می بریم.

مثال:

سوال:

 

فصل دوم

1-2 معادلات الجبری:

معادبه به آن مساوات الجبری گفته میشود که به قیمت یا قیمت های معین و مشخص حروف (متحول ها) با هم مساوی شوند.

مانند:

دیده میشود که در برابر قیمت هر دو طرف معادله یا مساوات با هم مساوی میگردد. یعنی 17=17

مجهول (متحول) در معادله:

مجهول در معادله به حرفی گفته میشود که دریافت قیمت آن مطلوب باشد.

Xمجهول در معادله گفته میشود

Y مجهول در معادله گفته میشود

Y,X مجهول ها در معادله گفته میشوند

جذر معادله: جذر معادله به آن قیمت یا قیمت های مجهول گفته میشود که معادله را صدق نماید یا به عباره دیگر معادله را مساوی سازد. مثلاً: در معادله 5x-2=8 قیمت های x مساوی به 2 میباشد.

جذر معادله عدد 2 می باشد، زیرا دیده میشود که در برابر x=2 هر دو طرف معاده مساوی به 8 میگردد.

2-2 معادلات یک مجهوله درجه اول: هر معادله الجبری که به شکل ax+b=0 باشد بنام معادله بنام معادله یک مجهول درجه اول یاد میگردد. طوریکه عدد ثابت و x مجهول از درجه اول می باشد که جذر معادله فوق میباشد و میتوان معادلات یک مجهوله درجه اول در شکل پولینومیل کسری و جذری ملاحظه نمود.

پولینومیل

کسری

جذری

3-2 سیستم معادلات دو مجهوله درجه اول:

نظر به قوانین راضی به هر اندازه که تعداد متحول ها یا مجهول ها موجود باشد باید به همان اندازه معادله وجود داشته باشد تا معادلات داده شده بتواند حل گردد. بنابر آن در صورتیکه دو مجهول داشته باشیم برای حل آن باید دو معادله داشته باشیم، معادلات مربوط را میتوان به چندین طریق حل نمود. با استفاده از طریق تعویضی، طریق افنا، طریقه دیترمینانت، طریقه متریکس، طریقه گوس.

1-3-2 طریقه تعویضی: در طریقه تعویضی قیمت یکی از متحول ها با مجهول ها را از یکی معادلات دریافت نموده و در معادله دیگر وضع می نمائیم. به عباره دیگر یکی از مجهول ها را از یک معادله با متحول مشابه آن در معادله دیگر تعویض می نمائیم. مثلاً:

از معادله اول قیمت x را بدست آورده در معادله دوم وضع می نمائیم.

2-3-2 طریقه افنا: در طریقه افنا کوشش میشود تا یکی از متحول ها حذف شود و برای این منظور ضریب های مجهول ها باید در هر دو معادله یکسان گردد. مثال:

مثلاً در دو معادله داده شده اگر بخواهیم x را حذف کنیم ضریب x در معادله اول را ضرب در معادله دوم می نمائیم و ضریب x در معادله دوم را ضرب در معادله اول می نمائیم و طریقه را به همان ترتیب ادامه ميدهيم   اد

                                               

 

 

 

 

مثال:

 

 

 

3-3-2 حل سیستم معادلات خطی به طریقه دیترمینانت:

الف: حل سیستم معادلات دو مجهوله درجه اول:

چون شکل عمومی این نوع معادلات بوده.

                                                   

بناً دیترمینانت هاي ذیل را تعریف میکنیم.

در صورتیکه باشد قیمت مجهل های y,x عبارت است از:

مثال: سیستم معادلات دو مجهوله درجه اول مقابل را به طریقه دیترمینانت حل نمائید.

حل:

 

برای دریافت دیترمینانت حاصل ضرب قطر اصلی را منفی حاصل ضرب عناصر قطر فرعی مینمائیم.

مثال: معادله داده شده ذیل راحل نمائید.

4-2 سیستم معادلات سه مجهوله درجه اول:

شکل عمومی سیستم معادلات سه مجهوله درجه اول  

بوده طوریکه و همچنان و همچنان اعداد ثابت و z,y,x مجهول ها از درجه اول میباشد. میتوان سیستم معادلات سه مجهوله درجه اول را مانند سیستم معادلات دو مجهوله درجه اول به طریقه های افنا، تعویضی و دیترمینانت حل نمود.

1-4-2 حل به طریقه افنا: (مساوی ساختن ضرایب):

درین طریقه قیمت یکی از مجهول ها را در نظر گرفته در معادله (1)و(2) هم چنان در معادله (2)و(3) مساوی ساخته رفع می نمائیم بدین ترتیب معادلات دو مجهوله درجه اول بسدست میآید میتوان آنرا طوریکه قبلاً مطالعه نمودیم مساوی ساخته و بعد از رفع به ترتیب مجهول ها را بدست خواهیم آورد.

مثلاً: سیستم معادلات سه مجهوله ذیل را حل نمائید.

             2x+2y=-4

به طریه تعویضی:

2-4-2 حل معادلات سه مجهول درجه اول به طریقه دیترمینانت:

چون شکل عمومی این معادلات

بوده بناءً دیترمینانت های ذیل را تعریف مینمائیم:

طریقه ساروس

مترکس: عبارت از ترتیب ضریب های مجهول یک سلسله معادلات به قطارهای و ستون ها میباشد.

                                                         عناصر قطر فرعی            عناصر قطر اصلی

مثال:

سوالات تمرینی

1-دو نفر به ليلامي فروشی میروند، هرگاه نفر اولی به مبلغ 160Af سه پیراهن و 2 جاکت و شخص دومی به مبلغ 240Af چهار پیراهن و 5 جاکت بخرن در حالیکه پیراهن و جاکت هر دو نفر یک نوع قیمت داشته قیمت پیراهن و جاکت را معلوم کنید.

2-شخصی در سه بار خریداریش از یک مغازه در مرتبه اول 5 جلد کتاب 7 جلد کتابچه و 3 عدد قلم را جمعا به مبلغ $44 و مرتبه دوم 2 جلد کتاب و 5 جلد کتابچه و 2 عدد قلم را به مبلغ $96 و در مرتبه سوم 6 جلد کتاب 4 جلد کتابچه و 5 عدد قلم را به مبلغ $15 خریداری نموده است. قیمت فی جلد کتاب و کتابچه را وقلم را پیدا نمائید.

 

5-2 توابع

در ریاضی تعداد زیادی توابع وجود دارد بطور عموم توا بع به دو گروپ تقسیم میگردد.

توابع الجبری و توابع غیر الجبری

تابع: تابع افاده ریاضیست که رابطه بین دو یا چندین متحول را ارائه میکند. مثلاً: در تابع y,y=f(x) بنام متحول تابع و x بنام متحول مستقل یا تابع کننده یاد میگردد. البته در اینجا تنها یک متحول مستقل x وجود دارد. در انواع دیگر توابع چندین متحول مستقل میتواند وجود داشته باشد.

توابع میتواند درجه اول، درجه دوم، درجه سوم و....................................درجه n باشد.

بطور عمومی یک تابع درجه اول یا یک تابع خطی را میتوان چنین نوشت y=ax+b تابع متذکره درجه اول است زیرا طاقت متحول مستقل یعنی x یک تابع درجه یک میباشد. b,a ضریب های معادله یا تابع بوده اعداد ثابت می باشند تابع فوق تابع خطی گفته میشود. زیرا گراف آن تابع در صورت y=0 یک معادله خط مستقیم است.

مثال: تابع y=-2x+b را حل می نمائیم. برای حل آن دو طریقه موجود است.

طریقه اول: درین طریقه برای ترسیم خط مستقیم y=-2x+6 را به دو نقطه ضرورت داریم که این نقاط را P2,P1 مینامیم. حل آن طور ذیل است.

 

شکل:

 

 

 

 

 

 

 

یادداشت: در تابع y=ax+b ضریب x یعنی a خط مستقمی را افاده می نماید. اگر اشاره ضریب x یعنی a مثبت (+) باشد. خط مستقیم مربوطه میلان صعودی داشته و بر خلاف اگر اشاره ضریب x یعنی a منفی (-) باشد خط مستقیم مربوطه میلان نزولی خواهد داشت.

3


تمرین:

 

 

 

6-2 توابع درجه دوم

توابع یک مجهوله درجه دوم را بطور عموم میتوان چنین ارائه نمود. این توابع به نسبت درجه دوم گفته میشوند بلند ترین طاقت متحول مستقل یعنی 2,x میباشد اگر گراف آنرا ترسیم نمائیم شک یک پارابول و یا هایپربولا را خواهد داشت درین تابع c,b,a اعداد ثابت میباشند تابع فوق را نیز میتوان به دو طریقه ارائه نمود یکی با ترتیب نمودن یک جدول ساده که با دادن قیمت های مختلف به x قیمت y را دریافت نمود نقاط مربوط را بالای گراف نشانی و با هم و حل می کنیم تا منحنی مربوطه بدست آید طریقه ساده تر این است که محل نقاطع منحنی را با محور عمودی واقعی دریافت نمائیم یعنی نقاط P2,P1 تابع متذکره را دریافت نمائیم.

البته نقطه نقطه ایست که منحنی از آنجا از محور عمودی می گذرد، در حالیکه نقاطی را که منحنی از محور افقی می گذرد نشان میدهد اگر باشدداریم که برای دریافت نمودن قیمت های x جذری های معادله که در حقیقت نقاطع منحنی را با محور x نشان میدهد معادله را باید حل نمود در صورتیکه معادله جذر داشته باشد میتوان آنرا از طریق تجزیه به دو قوس (طریقه تکمیل مریعات) و یا از طریق فرمول دلتا (محمد بن موسی خوارزمی) دریافت نمائیم.

توسط تکمیل مربعات: توسط این روش هر معادله یک مجهوله درجه دوم را حل کرده میتوانیم. حال با استفاده از این طریقه فرمول عمومی را برای حل معادلات تحت مطالعه استخراج می نمائیم. برای بدست آوردن فرمول عمومی مراحل ذیل را عملی میکنیم.

مرحله اول: اطراف معادله را به a تقسیم میکنیم:

مرحله دوم: عدد ثابت را به طرف راست مساوات انتقال میدهیم.

مرحله سوم: به هر دو طرف معادله اخیر را جمع میکنیم.

مرحله چهار: طرف چپ را به شکل مربع کامل می نویسیم:

مرحله پنجم: جذور اطراف را گرفته حل مینمائیم:

مثال: معادله راحل و گراف آنرا ترسی نمائید.

 

                                            

شکل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-2 مطالعه اشاره ترینوم ها

شکل عمومی یک ترینوم( سه حده ) بوده و هدف این است که این سه جمله ئی برای کدام قیمت های x دارای اشاره مثبت و به کدام قیمت های x دارای اشاره منفی میباشد. برای این منظور ترینوم مذکور را مساوی به صفر قرار داده یعنی مطالعه می نمائیم که ترینوم به کدام قیمت های x بی اشاره میگردد و جهت دریافت این قیمت ها با مطالعه معادله درجه دوم یک مجهوله تشکیل شده مواجه میگردیم و بعداً دلتا را تشکیل داده سه حالت ذیل وجود دارد.

الف: اگر باشد درینصورت ترینوم به تمام قیمت های متحول فقط اشاره a را دارد.

ب: اگر باشد ترینوم به استثنا قیمت  که در آن صفر گردیده و بدون اشاره میباشد به سایر قیمت های x شاره a را دارا است .

ج: اگر باشد درینحالت ترینوم به دو قیمت صفر گردیده به سایر قیمت های متحول x در بین جذر ها خلاف اشاره و در خارج جذر ها هم علامه a می باشد.

                                     

                                                 

 

     اشاره a                                                   اشاره a

         

          x1                         x2                                                                              a>0                  a<0

                                                                                                                                                         به تمام قيمت ها(-)               به تمام قيمت ها(+)

 

 

                                   اشاره a

 

                                                                a>0                  a<0

                                                              به تمام قيمت ها(-)               به تمام قيمت ها(+)

 

 

 

                                 X2                           X1

خارج از جذر

داخل جذر

خارج از جذر

اشاره a

+

-

+

a>0

-

+

-

a<0

 

y=x3-2x2-5x+6

y=x3+5x2+3x-4

 

 

 

8-2 توابع درجه سوم

شکل عمومی درجه سوم قرار ذیل میباشد

به منظور حل این گونه توابع احیاناً توابع درجه دوم عمل می نمائیم یعنی به نقاط ضرورت داریم که این نقاط قرار ذیل میباشد.

 

1)Y=x3-2x2-5x+6       2) x3+5x2+3x-4  

 

 

فصل سوم

 

1-3 لیمت

لیمت که معنی آن حد یا هدف است یکی از مباحث بسیار عمده و اساسی در رياضيات میباشد که توسط ويرس ترس انگلیسی به طور مفصل توضیح و تشریح گردیده است هرگاه در تابع متحول x در مرحله تحولش بلاخره قیمیت را اختیار نماید که از طرف راست و چپ (مجاورت متناظره) چنان به یک عدد ثابت مانند a نزدیک گردد، که تفاوت آن بی نهایت کوچک گردد. حتی کوچکتر از یک عدد بسیار کوچک انتخابی مانند E ( که منخففی از Ep∫ilon و کوچکترین عدد مثبت ریاضی را گویند) طوریکه 1x-a1    a

مثال: لمیت تابع y=3x-5 در حالیکه تقرب کند.

لیمت های چپ و راست

هرگاه y=f(x) بوده لمیت تابع y را به صورتیکه x از طرف چپ به a تقرب نماید. یعنی تقرب کند یعنی از طرف اعداد کوچکتر از a تقرب نماید لیمت چپ گفته میشود و طور ذیل تحریرمیگردد.y=f(x)

 

ولیمت تابع y=f(x) را در صورتیکه x از طرف راست به a تقرب کند و یا x از طرف اعداد بزرگتر از a به a تقرب کند لیمت راست گفته میشود طور ذیل تحریر می گردد.

تابع y=f(x) زمانی در نقطه x=a دارای لمیت است که لمیت های چپ و راست آن تابع در آن نقطه با هم مساوی باشند یعنی

مثال: تابع در صورتیکه تقرب کند یا  دارای لیمت نمی باشد یا به عباره دیگر تابع مذکور در نقطه x=0 لیمت ندارد. زیرا لیمت های چپ و راست درین نقطه مساوی نیستند.

یعنی:                                                                       

 

 

 

2-3 قضایای لیمت:

قضیه اول: طوریکه c یکعدد ثابت است.

قضیه دوم:

قضیه سوم:

قضیه چهارم:

قضیه پنجم:

قضیه ششم:

قضیه هفتم:

قضیه هشتم:

 

مثال:

3-3 اشکال مبهم لیمت

درین جا چهار شکل مبهم لیمت را طور خلاصه با مثال مطالعه می نمائیم.

1- شکل مبهم : هرگاه لیمت در صورتیکه بوده و مبهم است برای رفع ابهام اولاً عالم مبهم را شناسائی کرده بعد از تحریر کسر را اختصار می کنیم و لیمت می گیریم. مثلاً: لیمت توابع ذیل را دریافت می داریم:

هرگاه لیمت نیز از قاعده رفع ابهام  استفاده می کنیم زیرا شکل مبهم  نیز شکل مبهم  را اختیار میکند.

مثال: لیمت تابع ذیل را حل کنید.

 

تمرینات

 

 

 

4-3 مشتق

اواخر قرن هفدهم با اختراع مشتق در ریاضیات توسط (اسحاک نیوتن) انگلیسی و (ویلیم لبنز) جرمنی دوره پر ثمر علوم مثبته مانند فزیک، انجینری و غیره محسوب می گردد. که میتوان تعبیر هندسی مشتق را میل مماس در یک نقطه معین از منحنی و یا از نظر تحلیل الجبری مشتق را لیمت نسبت افزایش تابع و افزایش متحول زمانیکه افزایش متحول بطرف صفر تقرب نماید. تعریف نمود. یعنی اگر تابع y=f(x) یک تابع متمادی باشد پس مشتق این تابع یک جدید موسوم به میباشد.

تحلیل هندسی مشتق: هرگاه تابع y=f(x) داریا یک منحنی باشد که آنرا روی سیستم کمیات وضعیه تعین نمائیم. حال اگر بالای منحنی مذکور

شکل

 

 

 

 

 

نقاط را در نظر بگیریم طورکیه خط قاطع منحنی در نقاط Q,P باشد و خط  به جهت مثبت محور X زاویه مانند را میسازد، هرگاه میل این خط را دریافت نمایم میتوان نوشت

هرگاه نقطه تقرب نماید در این صورت خط  موقعیت خویش را تغیر داده بالاخره خط  به منحنی تابع در نقطه P مماس گردیده و در حالت قرار میگیرد که درین حالت تقرب میکند و خط مذکور به جهت مثبت محور x زاویه را میسازد میل آن میگردد.

5-3 مشتق و مشتق گیری:

اکثر مسایل و موضوعات اقتصادی وقتی طرح میگردد که پدیده های یا کمیت های مربوط تغیر و تحول نماید. از نگاه ریاضیاتی وقتی اندازه یا درجه تغیر در یک پدیده یا کمیت یا متحول مورد نظر سنجش گردد مشتق گیری گفته میشود. طریقه های مختلف مشتق گیری موجود بوده عملیه مشتق گیری را میتوان به یکی از اشکال ذیل تعریف نمود:

الف: بعباره عامیانه: مشتق عبارت از تغیر نسبی در متحول تابع در اثر یک تغیر وارده به متحول مستقل میباشد.

ب: از نگاه هندسی: مشتق یک تابع در یک نقطه عبارت از میل مماس منحنی مربوط در همان نقطه میباشد.

ج: از نگاه الجبری: مشتق عبارت از لیمت تغیر در متحول تابع در تغیر وارده در متحول مستقل در صورتیکه تغیر در متحول مستقل به صفر تقرب نماید.

فرض نمائیم تابع y=f(x) داده شده باشد هرگاه متحول مستقل یعنی x از به تقرب نماید. متحول تابع یعنی y نیز ارزش های را اختیار مینماید.

مثال: مشتق تابع y=5x از طریق لیمت بدست آورید.

 

 

 

 

 

مثال: مشتق تابع را از طریق لیمت بدست آورید.

 

 

 

 

 

مثال: مشتق تابع را دریافت کنید.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6-3 قاعده های علمی مشتق گیری:

با وجودیکه از نگاه عملی میتوان هر نوع تابع را با استفاده از طریقه های لیمت گیری ساده نمود، قواعد عملی مشتق گیری نیز برای ساده ساختن توابع وجود دارد البته قاعده های مشتق گیری متعدد میباشد که درینجا یک تعداد آنهارا که بیشتر در مسایل اقتصادی مورد بحث قرار میگیرد مطالعه میکنیم:

1-6-3 قاعده اول:

هرگاه یک مشتق یک متحول طاقت دار را بگیریم در آنصورت طاقت متحول مربوط را ضریب قرار داده از طاقت اصلی آن 1 را کم مینمائیم. بعباره دیگر هر گاه توابع بشکل داده شده باشد مشتق اینگونه توابع را داریم که .

 

مثال: مشتق را دریافت کنید.

 

 

 

 

2-6-3 قاعده دوم:

اگر توابع بشکل داده شده باشد. مشتق اینگونه توابع عبارت است از

مثال: مشتق تابع را دریافت کنید.

 

 

 

3-6-3 قاعده سوم:

هرگاه اجزای یک تابع به شکل حاصل جمع و یا حاصل تفریق داده شده باشد مشتق اینگونه توابع عبارت است از حاصل جمع و حاصل تفریق مشتق های اجزای تابع مربوط آن میباشد.

مثال:

 

 

 

 

 

 

4-6-3 قاعده چهارم:

هرگاه توابع بشکل داده شده باشد یعنی اجزای تابع داده شده به شکل حاصل ضرب باشد مشتق اینگونه توابع عبارت است از

مثال:

 

 

 

 

 

همچنان اگر توابع بشکل باشد مشتق اینگونه توابع عبارت است از

مثال:

 

 

 

 

5-6-3 قاعده پنجم:

مشتق یک نسبت: هرگاه یک تابه به شکل یک نسبت یا یک کسر و یا شکل یک حاصل تقسیم داده شده باشد. مشتق اینگونه توابع عبارت است از:

مشتق صورت ضرب مخرج منفی مشتق مخرج ضرب صورت بر مربع مخرج، یا بعباره دیگر اگر توابع به شکل داده شده باشد مشتق اینگونه توابع را داریم که

مثال: مشتق را دریافت کنید.

 

 

 

 

 

تمرین:

با استفاده از قواعد مشتق گیری مشتقات توابع ذیل را دریافت کنید:

 

 

6-6-3 قاعده ششم:

اگر توابع بشکل داده شده باشد، در صورتیکه توان عدد تحت جذر از مربع درجه جذر کوچکتر باشد ازین فرمول استفاده کرده میتوانیم:

مثال: مشتق تابع فوق را دریافت کنید.

اگر تابع بشکل داده شده باشد، در صورتیکه باشد از فرمول ذیل استفاده کرده میتوانیم: .

مثال: مشتق تابع داده شده را دریافت کنید.

 

 

 

اگر باشد از قاعده جذری استفاده کرده نمیتوانیم. باید تابع داده شده را از حالت جذر بشکل توان رفع نمائیم بعداً با استفاده از قاعده تابع- تابع میتوانیم مشتق گیری نمائیم.

7-6-3 قاعده هفتم:

هرگاه توابع بشکل و یا بشکل داده شده باشد مشتق اینگونه توابع عبارت است از:

مثال:

 

8-6-3 قاعده هشتم

 مشتق توابع توسعوی:

توابع توسعوی توابعی اند که متحول مستقل منحیث طاقت یا توان در آنها بکار برده شده باشد و قاعده آن یک عدد ثابت باشد. مانند e که این قاعده را به سه بخش تقسیم میکنیم:

الف: هرگاه داده شده باشد مشتق اینگونه توابع را داریم که

ب: هرگاه باشد، مشتق اینگونه توابع را داریم که:

ج: هرگاه باشد مشتق اینگونه توابع را داریم که

 

مثال:

 

 

 

مثال:

 

 

 

9-6-3 قاعده نهم:

مشتق توابع لوگارتمی:

1: هرگاه توابع بشکل y=log x داده شده باشد مشتق اینگونه توابع را داریم که ثبوت از طریق لیمت:

 

 

 

 

2: هرگاه توابع شکل y=log f(x) باشد داریم که

3:هرگاه توابع بشکل y=log u باشد داریم که

تمرین

 

 

 

 

7-3 مشتق گیری قسمی و کلی

تا اکنون توابعی را که مطالعه نمودیم همه دارای یک متحول مستقل بوده اند یعنی توابع بطور عموم شکل y=f(x) را داشتند که میتوانستیم مشتق آنرا با استفاده از لیمت و یا بکار بردن یکی از قواعدی که مطالعه گردیده بدست آوریم، اکنون توابعی را مطالعه مینمائیم که دارای دو یا بیشتر از دو متحول مستقل میباشند وقتی تعداد متحول های مستقل بیشتر از یک متحول باشد موضوع مشتق گیری کلي و قسمی مطرح میگردد. فرض مینمائیم که تابع ما شکل ذیل را دارا است:

که درینجا z متحول تابع و همه متحول های مستقل میباشد در مشتق گیری قسمی مشتق های قسمی z را بالنوبه نظر به هر متحول مستقل بطور جداگانه میگیریم در حالیکه همه متحول های مستقل دیگر را ثابت نگهمیداریم.

مثال: مشتق های قسمی تابع را دریافت نمائید.

طوریکه بملاحظه میرسد در تابع فوق در متحول مستقل y,x موجود است بنابر آن به دو مشتق تابع ضرورت داریم یعنی مشتق قسمی z نظر به x و هم چنان مشتق قسمی z نظر به y.

مثال: 2

مثال: 3

 

 

8-3 مشتقات قسمی دوم و مشتقات ترکیبی

1-8-3 الف: مشتقات قسمی دوم:

هرگاه مشتق های قسمی اول را بار دیگر نظر به همان متحول قسماً مشتق گیری نمائیم، مشتقات قسمی دوم تابع مربوطه نظر به متحول مورد بحث بدست می آید. مفهوم مشتق های قسمی دوم عبارت از درجه تغیر در تابع نظر به تغیر وارده در متحول مستقل ذکر شده میباشد.

2-8-3 ب: مشتقات ترکیبی:

هرگاه مشتق های قسمی اول نظر به یک متحول طور مثال متحول x را بار دیگر نظر به متحول دیگر طور مثال متحول y مشتق گیری نمائیم گفته میشود که مشتق ترکیبی تابع بدست آمده است. به همین ترتیب عین عدد را میتوان به مشتق گیری قسمی تابع تکراراً به اساس متحول y بدست آورد.

مثال اول: مشتقات قسمی اول، دوم و مشتقات ترکیبی تابع z را دریافت نمائید:

 

 

 

 

 

 

 

سوالات تمرینی

 

 

9-3 مشتقات کلی

در مشتن گیری قسمی دیدیم که اگر مشتق تابع را نظر به یک متحول میگرفتیم متحول های دیگر را ثابت فرض مینودیم، لیکن در مشتق گیری کلی تمام متحولین همزمان تغیر مینمایند.

درینجا غرض سهولت تنها توابع را مطالعه مینمائیم که دارای دو نوع متحول میباشند. درین گونه توابع مشتق کُلی آنها عبارت است از مجموع حاصلضرب مشتق های قسمی تابع با تغیر وارده در متحول مربوطه میباشد. طور مثال اگر تابع شکل ذیل را دارا باشد مشتق کلی آن عبارت است از:

اگر تابع داده شده شکل تابع تابع را دارا باشد یعنی z در قدم اول تابع متحول های y,x و در قدم دوم از طریق یکی از این متحول های مستقل تابع متحول مستقل دیگر باشد.

مثال: مشتق کلی تابع ذیل را دریافت کنید:

مشتق کلی تابع در صورتیکه باشد.

مشتق کلی تابع را در یافت کنید. در صورتیکه باشد.

مثال: تابع قیمت  يك متاع به شکل ذیل میباشد، درین تابع x عرضه متاع و y مقدار تقاضای همان متاع را نشان میدهد عرضه و تقاضای متاع مربوطه بالنوبه به اشکال ذیل تابع عامل زمان t میباشد.  تغیرات کلی را در قیمت متاع ذیل نظر به تغیرات عرضه و تقاضای متاع و همچنین نظر به تغیرات در زمان t سنجش نمائید دو ماه فرض شده t=

حل: مشتق کلی z را نظر به y,x دریافت میداریم. در حالیکه y,x تابع زمان t میباشند درین جا چون z ابتداء تابع y,x و از طریق y,x تابع زمانt میباشد برای دریافت مشتق کلی تابع ذیل باید از فرمول چهارم استفاده کنیم بنابر این اجزای فرمول را ذیلاً بترتیب دریافت میکنیم:

تمرین

10-3 دریافت حالات مساعد یا ارزش های اعظمی و اصغری

در مباحث قبلی طریقه های مشتق گیری قسمی و مشتق گیری کلی را مطالعه نمودیم که در بسیاری موارد و در مسایل اقتصادی نیز ازین طریقه ها بیشتر استفاده میگردد.

دریافت نمودن حالات مساعد یا حالات مطلوب برای فعالیت های اقتصادی توسط یک شخص، یک تصدی و یا ارگان دولتی استفاده بعمل میآید. طور مثال یک تصدی میخواهد حد اعظم تولید خود را نظر به بودجه مصارف داده شده یا حداقل مصارف تمام شد را نظر به بمقدار معین تولید بداند یک فروشنده میخواهد که مساعد ترین مقدار فروش آن چه قدر است و به چه اندازه فروش میتواند حداکثر عاید خالص یا مفاد را بدست آورد یا اینکه یک فامیل میخواهد با عاید دست داشته خویش حداثکر مفیدیت و یا مطلوبیت از خرید یا مصرف نمودن یک دسته متاع حاصل نماید یا یک ارگان دولتی میخواهد پلانگذاری یک کشور را طوری ترتیب نمادی که با استفاده اعظمی از منابع دست داشته به اهداف تعین شده خویش برسد.

در همچو موارد تخنیک های مشتق گیری خاصتاً طریقه های دریافت نمودن ارزش های اعظمی، اصغری و انعطاف خیلی مفید واقع میگردد درین مبحث دو نوع حالت را مورد مطالعه قرار میدهیم:

1:- دریافت نمودن ارزشهای اعظمي و اصغری و انعطاف در توابعی که تنها دارای یک متحول مستقل میباشند (( ارزش های اعظیمي و اصغری غیر مقید))

2: دریافت نمودن ارزش های اعظیمی و اصغری و انعطاف در توابعی که دارای دو یا بیشتر از دو متحول مستقل باشند. البته مطالعه موضوعات فوق مسایل پیچیده را نیز در بر میگیرد ولی به غرض سهولت درینجا توابع مطالعه میگردد که دارای یک یا دو متحول مستقل باشند.

11-3 دریافت نمودن ارزش های اعظمی و اصغری در توابعی که دارای یک متحول مستقل باشند

فرض مینمائیم که y=f(x) است و منحنی آن را در گراف ذیل ترسیم شده است:

طوریکه در گراف ملاحظه مینمائیم منحنی از مبداء آغاز گردیده تغیری در انحنای منحني در نقطه c بوجود آمده تابع به بلند ترین ارزش خود در نقطه a رسیده و دوباره نزول نموده است سپس به کمترین ارزش خود در نقطه b رسیده و صعود مینماید. هر یک ازین سه نقطه یعنی C,B,A را بعبارت عامیانه از نگاه هندسی و به مفهوم الجبری آن مورد مطالعه قرار میدهیم:

1-11-3 نقطه اعظمی: بعباره عامیانه یک نقطه اعظمی نقطه ایست که منحنی در آن نقطه بلند ترین ارزش خود را اختیار نماید مانند نقطه A در گراف بالا از نگاه هندسی یک نقطه اعظمی نقطه ایست که مماس در آن نقطه موازی به محور افقی بوده، طرف چپ آن شکل صعودی و طرف راست آن شکل نزولی را داشته باشد.

از نگاه الجبری میدانیم که مشتق دوم تابع تغیر میلان را در همان نقطه افاده مینماید. پس اگر مشتق اول یک تابع مساوی به صفر وضع گردد و مشتق دوم آن کوچکتر از صفر باشد گفته میتوانیم که نقطه مربوطه نقطه اعظمی تابع را نشان میدهد.

2-11-3 نقطه اصغری: بعباره عامیانه نقطه اصغری نقطه ایست که تابع داده شده در آن نقطه کمترین ارزش خود را دارا میباشد مانند نقطه B در گراف بالا بعباره هندسی یک نقطه اصغری نقطه ایست که مماس در همان نقطه موازی با محور افقی بوده ولی به طرف چپ آن شکل نزولی و به طرف راست آن شکل صعودی را اختیار میکند.

از نگاه الجبری اگر مشتق اول تابع را در یک نقطه مساوی به صفر قرار داده و مشتق دوم آنرا بگیریم در صورتیکه مشتق دوم مثبت یا بزرگتر از صفر باشد نقطه مربوطه یک نقطه اصغری گفته میشود.

3-11-3 نقطه انعطاف: تعریف یک نقطه انعطاف به مقایسه یک نقطه اعظمی و اصغری تقریباً مشکل بوده و معمولاً در توابع درجه سوم یا بالاتر از آن مطرح میگردد ولی بطور عموم میتوان گفت که فقط انعطاف نه یک نقطه اعظمی بوده و یک نقطه اصغری بلکه درجه تغیر منحنی را در همان نقطه نشان میدهد.

از نگاه هندسی سمت میلان منحنی در همان نقطه تغیر نیافته بلکه موقعیت میلان از بالا به پائین به منحنی و یا برعکس تغیر میابد مانند نقطه c در گراف قبلی.

از نگاه الجبری اگر مشتق اول یک تابع در یک نقطه مساوی به صفر وضع شود امکان دارد آن نقطه یک نقطه انعطاف باشد ولی در اکثر موارد به معلومات بیشتر ضرورت داریم.

مثال:

 

 

 

 

 

دوم: دریافت ارزش های اعظمی و اصغری در توابع که دارای دو متحول مستقل اند.

فرض مینمائیم تابعی به شکل z=f(x,y) که در آن z متحول تابع و y,x متحولین مستقل می باشند. هدف اینست که این گونه توابع به کدام ارزش های y,x حالات اعظمی، اصغری و نعطاف را اختیار می نمایند. چون در ینجا سه متحول وجود دارد، جهت توضیح نقاط اعظمی، اصغری و انعطاف به یک گراف سه بعدی ضرورت داریم، ولی به غرض سهولت از تعریف هندسی آن صرف نظر نموده تنها تعریف الجبری نقاط اعظمی، اصغری و انعطاف را ذیلاً مطالعه می نمائیم.

1- نقاط اعظمی: نقطه اعظمی نقطه ایست که تابع در آن بزرگترین ارزش خود را اختیار نموده، از نگاه الجبری سه شرط ذیل را درآن صدق نماید.

شرط اول: مشتق های قسمی اول تابع نظر به هر متحول مستقل مساوی به صفر گردد. یعنی

شرط دوم: تغیر در میلان منحنی در همان نقطه به ارتباط هر دو متحول y,x منفی باشد یا به عباره دیگر مشتق های قسمی دوم تابع نظر به هر متحول y,x کوچکتر از صفر باشد. شرط حتمی

شرط سوم: برعلاوه دو شرط حتمی و ضروری فوق یک شرط سومی و کافی نیز اطلاق می نمایند و آن این است که حاصل ضرب مشتق های قسمی دوم بزرگتر از مربع مشتقات ترکیبی گردد.

 بطور خلاصه باید گفت که هرگاه دو شرط اول دریک تابع صدق نماید ولی شرط سومی آن تحقق نپذیرد، نمیتوان موجودیت یک نقطه اعظمی را تعین نمود به همین علت است که در اکثر فعالیت های اقتصادی ریاضیاتی دو نوع شرایط وجود دارد شرایط حتمی یا ضروری و شرایط کافی. در صورت تحقق پذیرفتن همه شرایط میتوان با اطمینان کامل حکم صادر کرد.

2-نقطه اصغری: نقطه اصغری نقطه است که تابع در انجا کوچکترین ارزش خود را دارا بوده و از نگاه الجبری همه شرایط ذیل را صدق کند.

شرط اول: مشتق های قسمی اول تابع نظر به هر دو متحول مستقل مساوی به صفر گردد.

شرط دوم: مشتق های قسمی دوم تابع نظر به هر دو متحول y,x بزرگتر از صفر گردد.

شرط سوم یا کافی: حاصل ضرب مشتق های قسمی دوم بزرگتر از مربع مشتقات ترکیبی گردد.

نقطه انعطاف: نتیجه گیری در مورد نقطه انعطاف به مقایسه نقطه اعظمی و اصغری نسبتاً مشکل بوده با آن هم بطور عموم میتوان گفت که اگر شرایط ذیل را صدق نماید امکان موجودیت یک نقطه انعطاف وجود دارد.

شرایط اول: مشتق های قسمی اول نظر به هر متحول مستقل مساوی به صفر گردد.

شرط دوم: مشتق های قسمی دوم باید مختلف ا لاشاره باشند به عباره دیگر اگر مشتق قسمی اول نظر به یک متحول مستقل بزرگتر از صفر باشد مشتق قسمی بعدی نظر به متحول مستقل دومی باید کوچکتر از صفر باشد.

شرط سوم: بر خلاف موجودیت یک نقطه اعظمی و اصغری درینجا باید حاصل ضرب مشتق های قسمی دوم کوچکتر از مربع مشتقات ترکیبی گردد.

مثال اول: شرایط موجودیت نفاط اعظمی، اصغری و انعطاف را در تابع آزمایش نمائید.

سوالات تمرینی:

فصل چهارم

1-4 انتيگرال وانتيگرال گیری (تابع اولیه)

انتی گرال اهمیت روز افزون در علوم اجتماعی مخصوصاً در مسایل اقتصادی کسب نموده است.

 

تعریف تابع اوله: تابع f(x) را تابع اولیه برای تابع f روی فاصله I می گوئیم هرگاه برای هر x واقع در فاصله I داشته باشیم مثلاً: تابع تابع اولیه روی مجموعه اعداد حقیقی می باشد البته موضوعات انتیگرال و انتی گرال گیری نسبتاً پیچیده بوده که درینجا به غرض سهولت از جنبه ها و قضایای غا مض آن صرف نظر نموده، تنها بعضی تمرینات و قواعد انتیگرال گیری را مختصراً مطالعه می نمائیم. در بحث گذشته راجع به مشتق یک تابع حرف زده شد.

مشتق عبارت از یک تغیری که در یک تابع بوجود می آید یا به عباره دیگر تغیر جزئی یک تابع است اگر تمام اجزائی یک تابع در نظر گرفته شود مجموعه این اجرا کل تابع را تشکیل دهند حرکت از کل به جز رفتن راجع به یک تابع عملیه انتیگریشن نامیده میشود این عملیه توسط یک علامه که مشابه به s بوده و مخفف sum یعنی حاصل جمع افاده میگیردد به عباره ساده انتیگرال عملیه برعکس مشتق گیری می باشد بدین مفهوم که اگر انتیگرال یک تابع خواسته شده باشد باید تابع دیگری را دریافت نمائیم، که اگر آن تابع را مشتق گیری نمائیم مساوی به تابع اولی می گردد، که انتی گرال آن خواسته شده است طور مثال: اگر انتیگرال تابع خواسته شده باشد: میدانیم که اگر مشتق یک تابع مانند را دریافت کنیم انتی گرال به مفهوم هندسی آن عبارت است از مجموع ساختن تمام تغیرات وارده در متحول مستقل و دریافت نمودن تاثیر آن بالای متحول تابع.

2-4 انتیگرال معین و نامیعن

در انتیگرال معین که شکل هندسی آن مورد مطالعه قرار میگیرد دریافت نمودن قیمت تابع یعنی دریافت نمودن قیمت ساحه تحت منحنی نظر به قیمت های مشخص و معین متحول مستقل می باشد. طور مثال: اگر انتیگرال تابع در یک فاصله خواسته شده باشد ساحه تحت منحنی را درین فاصله سنجش نموده و آن را بنام انتیگرال معین تابع داده شده یاد می نمائیم البته مثال های متعدد هر دو نوع انتیگرال را در ضمن مطالعه قواعد انتیگرال و انتی گرال گيري  بررسي خواهیم کرد.

3-4 قوعد یا قاعده های انتیگرال گیری:

قاعده اول:

انتیگرال یک عدد ثابت: میدانیم که در عملیه مشتق گیری مشتق هر عدد ثابت مساوی به صفر است لذا قرار تعریف انتی گرال هر عدد ثابت مساوی به یک تابع درجه یک یا یک تابع خطی خواهد بود.

C را درینجا بنام ثابت انتیگریشن یا Constant of Integration

2-3-4 قاعده دوم یا قاعده عمومی: انتیگرال یک متحول توان دار یا طاقت دار طوری بدست میآید که به طاقت آن یکی افزوده شده و تابع دوباره

 

تقسیم آن طاقت میگردد. طور مثال: اگر داشته باشیم

سوالات تمرینی:

سوالات:

 

3-3-4 قاعده سوم: انتیگرال حاصل جمع و یا حاصل تفریق:

انتیگرال یک حاصل جمع یا یک حاصل تفریق عبارت است از حاصل جمع و یا حاصل تفریق انتیگرال های اجزائی تابع داده شده.

مثلاً:

یادداشت: در عملیه انتیگرال گیری میتوانیم اعداد ثابت را خارج از انتیگرال بنویسیم.

قاعده چهار: هرگاه تابع به شکل داده شده باشد انتیگرال اینگونه توابع عبارت است از:

مثال:

5-3-4 قاعده پنجم: انتیگرال تابع ئی تابع:

انتیگرال تابع تابع را به یکی از اشکال ذیل ارائه نمود. مثلاً انتیگرال توابع به شکل عبارت است از:

مثال:

مثال:

6-3-4 قاعده ششم: انتیگرال توابع توسعوی

هرگاه توابع به شکل داده شده باشد، از آن جائیکه مشتق اینگونه توابع خود تابع میباشد، انتیگرال آن نیز خود تابع میباشد.

یا به طریق دیگر هرگاه باشد انتیگرال آنرا قرار ذیل میگیریم.

مثال:

مثال:

انتیگرال تابع نمائی برابر است با

سوالات:

4-4 انتیگرال گیری به روش تغیر متغیر

با استفاده از روش تغیر متغیر انتیگرال تابع را محاسبه کنید و جواب را امتحان نمائید.

فرض کنید و در نتیجه است. با جایگذاری در تابع اصلی زیر انتیگرال و تبدیل آن به شکل نتیجه میشود که:

مثال:

سوالات:

انتیگرال توابع لوگرایتمی:

هرگاه صورت مشتق مخرج باشد، انتیگرال آن مساوی با log قیمت مطلقه مخرج است.

مثال:  

مثال:

 هرگاه صورت مشتق مخرج نبود حالت تقسیم را به ضرب تبدیل نموده و از طریق تغیر متغیر کار مینمائیم.

یاد داشت:

اگر باشد از فرمول استفاده میکنیم. و اگر باشد از فرمول استفاده میکنیم.

سوالات:

3-4 انتیگرال معین:

تابع y=3x+6 داده شده گراف این تابع را رسم نموده ساحه تحت تقسیم مربوط را بین نقاط x=-2,x=+6 ارزیابی و سنجش نمائید؟

حل: برای دریافت نمودن ساحه مطلوب ابتدا انتیگرال تابع داده شده را بین دو قیمت مشخص x یعنی +6,-2 سنجش مینمائیم .طوریکه قیمت کوچکتر را در پائین و قیمت بلند تر را در بالای علامه انتیگرال مینویسیم.

 

 

 

 

مثال:

مساحت ناحیه محصور را به منحنی های داده شده پیدا کنید.

مثال:

سوالات:

 

6-4 کاربردهای اقتصادی انتیگرال:

مثال اول: نرخ سرمایه گذاری خالص و موجودی سرمایه در t=0 برابر با 75 است. تابع تشکیل سرمایه K را پیدا کنید.

T را صفر قیمت بدهیم 75=c  C=75

مثال دوم: نرخ سرمایه گذاری خالص موجودی سرمایه در t=1 برابر با 85 می باشد. تابع تشکیل سرمایه K را محاسبه نمائید.

مثال: تابع مصرف نهائی بصورت مفروض است. اگر مصرف ثابت 5 باشد مطلوب است محاسبه.

الف: تابع مصرف کل؟                   ب:مصرف متوسط؟

تابع مصرف كل


تقسیم به x شده

مثال چهارم: تابع مصرف نهائی بصورت                         مفروض است.

اگر مصارف ثابت 6 باشد مطلوب است.

الف: تابع مصرف کل                              ب: مصارف متوسط

مثال پنجم: مصارف نهائی مفروض است، مصارف ثابت برابر به 55 باشد مطلوب است.

الف: مصارف کل                ب: مصارف متوسط            ج: مصارف متغیر

مصارف متغیر        

مثال ششم: با فرض

الف: مصارف کل و یا Tc را بدست آورید         

 ب: مصارف متوسط یا Ac را بدست آورید 

ج: مصارف متغیر Vc

 

ديپارت:

انتیگرال به روش تغیر جزء به جزء:

+ نوشته شده در Fri 14 May 2010ساعت 14:21 توسط امید رحمی هروی و محمد یونس جامی |